2.2.1 曲线与曲面的特性
2.2.2 曲线和曲面的参数表示
2.2.3 Bezier曲线
2.2.4 B样条曲线
2.2.5 非均匀有理B样条曲线(NURBS)
2.2.6 曲面
2.2.7 曲面造型在CAD系统中的应用




2．2．1 曲线与曲面的特性

    在介绍曲线、曲面的数学表示之前，首先了解一下曲线和曲面的一些重要特性。
（l）曲线和曲面的控制点以及节点 可以控制曲线形状的各个点称之为控制点，如果控制点位于曲线或曲面之上又称其为节点。

（2）多值性 一条曲线或曲面往往不是一个坐标的单值函数，如图2．2所示。一般不希望给定的函数带有多值性。

（3）几何不变性 在不同的坐标系中度量控制点时，所生成的几何形状必须保持不变。这种性质也称为坐标轴的无关性。例如，稍后将要介绍的贝塞尔曲线的形状仅仅与其特征多边形的各顶点（控制点）有关。因此，它不依赖于坐标系 的选择。




（4）全局或局部控制 设计者在一个已存在的曲线或曲面上修改某个控制点时，曲线或曲面只在控制点附近的区域改变形状，也可能整个形状都被改变，如图2．3所示。我们通常称前一种情况为局部控制能力，后者为全局控制能力。

（5）缩小变化特性 有些数学表示往往不是平滑而是放大由控制点所描绘的曲线中的细小不规则处。另有一些则正好相反，它总是平滑所给定的控制点。如图2．4所示，图中（a）在曲线上产生高阶振荡，而（b）则使曲线失去圆滑性。这两种情况在工程上都不理想，如果用（a）这种情况所形成的几何形状来做数控加工的话，很可能会出现载刀的情况（铣刀轨迹跌落），造成机床和工件的损坏，或者可能产生过切现象（Undercut），得不到理想的加工形状 。

（6）连续性的阶 实际应用的几何形体往往是由多个曲面片或曲线来模拟构造的。为了保证设计者的要求，这些曲线和曲面在连续处要保证有一定的连续性。零阶连续性记作d，指两条曲线简单地相交，这种情况造成交点处有一明显的拐角，如图 2．5所示。一阶连续性记作 C1，要求曲线在交点相切； 阶连续性记作0，要求曲率相等。